Question

如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°．
（1）求證：AD=BD；
（2）E為AD延長線上的一點，且CE=CA，求證：AD+CD=DE；
（3）當BD=2時，AC的長為

 

．（直接填出結果，不要求寫過程）

Answer 1

分析：（1）因為△ABC為等腰直角三角形，∠CAD=∠CBD=15，易證AD=BD；
（2）在DE上截取DM=DC，連接CM，易證△ACD≌△BCD，再根據角與角之間的關系，求得△CMD是等邊三角形，則AD+CD=DE可證；
（3）用解直角三角形求得AC的長．

解答：（1）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°．
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=30°．
∴AD=BD．

（2）證明：在DE上截取DM=DC，連接CM，
∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，
∴△ACD≌△BCD．
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∵∠CAD=15°，
∴∠EDC=60°．
∵DM=DC，
∴△CMD是等邊三角形．
∴∠CDA=∠CME=120°．
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAD．
∴△CAD≌△CEM．
∴ME=AD．
∴DA+DC=ME+MD=DE．
即AD+CD=DE．

（3）延長CD交AB于點H，則CH⊥AB，
∵∠HBD=30°，BD=2，
∴BH=BD•cos30°=

3

．
∴AC=BC=BH÷sin45°=

6

．

點評：本題把全等三角形的判定、等腰三角形的判定和解直角三角形結合求解．綜合性強，難度較大，考查學生綜合運用數(shù)學知識的能力．