Question

（2011•潼南縣）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求b，c的值；
（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下：
①求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積；
②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），
∴，
解得：b=﹣2，c=﹣3；
（2）如圖：∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），
∴直線AB的解析式為：y=x+1，
∵二次函數(shù)y=x²﹣2x﹣3，
∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t²﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）²+，
∴當(dāng)t=時(shí)，EF的最大值為，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；
（3）①如圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD．
可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）
S_{四邊形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；
②如圖：
�。┻^點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m²﹣2m﹣3）
則有：m²﹣2m﹣2=，
解得：m₁=，m₂=，
∴P₁（，），P₂（，），
ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P₃，設(shè)P₃（n，n²﹣2n﹣3）
則有：n²﹣2n﹣2=﹣，
解得：n₁=，n₂=（與點(diǎn)F重合，舍去），
∴P₃（，），
綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：P₁（，），P₂（，），P₃（，）能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．

解析