(2012•高郵市二模)如圖,在平面直角坐標系中,A、C、D的坐標分別是(1,2
3
)、(4,0)、(3,2
3
),點M是AD的中點.
(1)求證:四邊形AOCD是等腰梯形;
(2)動點P、Q分別在線段OC和MC上運動,且保持∠MPQ=60°不變.設(shè)PC=x,MQ=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)中:試探究當點P從點O首次運動到點E(3,0)時,Q點運動的路徑長.
分析:(1)根據(jù)點A、D的縱坐標相等可以得出AD∥OC,再根據(jù)兩點之間的距離公式可以求出AO、AD和DC的值,從而得出結(jié)論;
(2)由條件可以求出△MOC是等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)可以耳朵出∠MOC=∠MCO=60°,由條件可以得出∠MPO=∠PQC,可以得出△OMP∽△CPQ,由相似三角形的性質(zhì)可以求出結(jié)論;
(3)根據(jù)(2)的解析式可以求出y的最值,可以求出當x=2時,可以求出MQ的值,可以求出Q點運動路徑長,當OP=3時,x=1,可以求出MQ的值,從而可以得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵A(1,2
3
)、D(3,2
3
),
∴AD∥OC,
由兩點間的距離公式可以求出OA=
13
,DC=
13
,
∴OA=DC.
∵AD=2,OC=4,
∴AD≠OC
∴梯形AOCD是等腰梯形;
(2)∵M是AD的中點,
∴AM=DM=1,
∴M(2,2
3
),
由兩點間的距離公式可以求出MO=MC=4.
∵OC=4,
∴OM=OC=MC=4
∴△OMC是等邊三角形,
∴∠MOP=∠QCP=60°.
∵∠MPQ=60°,
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3,
∴△OMP∽△CPQ
OM
PC
=
OP
CQ
4
x
=
4-x
4-y

y=
1
4
x2-x+4
(0≤x≤4);
(3)∵y=
1
4
x2-x+4

y=
1
4
(x-2)2+3
,
∴x=2時,y最大=3  即MQ=3.
當OP=3時,x=1,y=
13
4
即,MQ=
13
4
,
∴當0≤x≤2時,Q點運動路徑長為4-3=1
當2<x≤3時,Q點運動路徑長為
13
4
-3=
1
4

∴當P點從O點運動到點E(3,0)時,Q點運動的路徑長為1+
1
4
=
5
4
個單位.
點評:本題考查了等腰梯形的判定方法的運用,等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,二次函數(shù)的最值的運用,解答時求出三角形MOC是等邊三角形是關(guān)鍵,求Q點運動的路徑長是難點.
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3
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2
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2
,-2)

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2
≈1.4
3
≈1.7
,結(jié)果保留整數(shù))

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