Question

如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B，C，D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①tan∠AEC=

BC

CD

；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

①∴tan∠AEC=

AC

EC

，
∴tan∠AEC=

BC

CD

；故本選項(xiàng)正確；
②∵S_△ABC=

1

2

a²，S_△CDE=

1

2

b²，S_梯形ABDE=

1

2

（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=

1

2

（a²+b²）≥ab（a=b時(shí)取等號(hào)），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；故本選項(xiàng)正確；
④過點(diǎn)M作MN垂直于BD，垂足為N．
∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，
則MN為梯形中位線，
∴N為中點(diǎn)，
∴△BMD為等腰三角形，
∴BM=DM；故本選項(xiàng)正確；
③又MN=

1

2

（AB+ED）=

1

2

（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本選項(xiàng)正確．
故選D．