Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+4k-6=0．
（1）試說(shuō)明：無(wú)論k為何值時(shí)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)方程兩根的倒數(shù)和等于-1時(shí)，求k的值；
（3）若拋物線y=x²-（2k-1）x+4k-6與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁＞0＞x₂，x₁-x₂＜6，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+4k-6=0的根的判別式的符號(hào)進(jìn)行證明；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系x₁•x₂=2k-1，x₁+x₂=4k-6，以及

1

x1

+

1

x2

=-1聯(lián)立即可求得k的值；
（3）根據(jù)題意列出關(guān)于k的不等式組

2k-3＜0 2-2k+3＜6

，通過(guò)解該不等式組即可求得k的取值范圍．

解答：（1）△=（2k-1）²-4（4k-6）=（2k-5）²
∵（2k-5）²≥0，
∴△≥0，
∴無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系及題意得：

x1+x2=2k-1 x1x2=4k-6 1 x1 + 1 x2 =-1

∴

2k-1

4k-6

=-1，
∴k=

7

6

；

（3）∵方程的兩根為x=2或x=2k-3且x₁＞0＞x₂，
∴x₁=2，x₂=2k-3
由題意得：

2k-3＜0 2-2k+3＜6

解不等式組得-

1

2

＜k＜

3

2

所以，k的取值范圍是-

1

2

＜k＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及拋物線與x軸的交點(diǎn)．在確定（3）中x₁、x₂的值時(shí)，需要根據(jù)限制性條件“x₁＞0＞x₂”來(lái)確定．