Question

如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點(diǎn)M在OC上，AM的延長線交⊙O于點(diǎn)G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結(jié)CB與DG交于點(diǎn)N。

⑴求證：CF是⊙O的切線；

⑵求證：△ACM∽△DCN；

⑶若點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，⊙O的半徑為4，COS∠BOC=，求BN的長。

Answer 1

 ⑴證明：∵△BCO中，BO=CO

∴∠B=BCO 在Rt△BCE中，∠2+∠B=90⁰ 

又∵∠1=∠2

∴∠1+∠BCO=90⁰即∠FCO=90⁰

∴CF是⊙O的切線；

⑵證明：∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=∠FCO=90⁰

∴∠ACB－∠BCO=∠FCO－∠BCO

即∠3=∠1

∴∠3=∠2 ∵∠4=∠D∴△ACM∽△DCN

⑶∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，

在Rt△COE中，COS∠BOC=

∴OE=CO·COS∠BOC=4×=1由此可得：BE=3，AE=5

由勾股定理可得：

               

∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD

∴由垂徑定理得：CD=2CE=2∵△ACM∽△DCN

∴  

  ∵點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，CM=

 ∴

  ∴BN=BC－CN=