Question

若k是自然數(shù)，且關(guān)于x的二次方程（k-1）x²-px+k=0有兩個(gè)正整數(shù)根，則k^kp•（p^p+k^k）+k^k-p+2+kp+1=

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)α、β是方程（k-1）x²-px+k=0的兩個(gè)正整數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于k的方程，求出k、p的值，代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：設(shè)α、β是方程（k-1）x²-px+k=0的兩個(gè)正整數(shù)根，
則αβ=

k

k-1

=1+

1

k-1

，α+β=

p

k-1

.
由于α、β是正整數(shù)，故αβ也是正數(shù)，從而k=2，則αβ=2且α+β=3=

p

p-1

，
故p=3，從而k^kp（p^p+k^k）+k^k+2-p+kp+1=2⁶（3³+2²）+2^2+2-3+2×3+1=1993．
故答案為：1993．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程的整數(shù)根及根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于關(guān)于k的方程是解答此題的關(guān)鍵．