Question

【題目】如圖，為半圓的直徑，點(diǎn)為半圓上任一點(diǎn)．

（1）若，過(guò)點(diǎn)作半圓的切線交直線于點(diǎn)．求證：；

（2）若，過(guò)點(diǎn)作的平行線交半圓于點(diǎn)．當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或．

【解析】

（1）由圓周角定理得到∠ACB=90°，先證△OＡC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形和外角的性質(zhì)得到∠OAP=∠BOC=120°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCP=90°,進(jìn)一步得到∠ACP=∠OCB，最后根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA=AD=CD=OC，連接OD，得到△AOD與△COD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AOD=∠COD=60°，求得∠BOC=60°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論

解： （1）如圖2∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=30°

∴AC=AB=OA=OB=OC

∴△OAC是等邊三角形

∴OC=AC，∠OAC=∠AOC=60°

∴∠CAP=∠BOC=120°

∴CP是⊙O的切線，

∴ OC⊥PC，

∴∠OCP=90°

∴∠ACP=∠OCB，

在△PBC與△AOC中，

∴(ASA)

(2)如圖1，連接OD,BD,CD

∵四邊形AOCD是菱形

∴OA=AD=CD=OC，OA=OD=OC

∴△AOD與△COD是等邊三角形，

∵.∠AOD=∠COD=60°，

∴∠BOC=60°，

∴

同理:如圖2可得:

故的長(zhǎng)度為或．