Question

（2009•上海模擬）如圖，已知直線y=kx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

5

2

），與x軸相交于點(diǎn)A；拋物線y=ax²+bx（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)P，頂點(diǎn)為M．
（1）求直線y=kx+2的表達(dá)式；
（2）求拋物線y=ax²+bx的表達(dá)式；
（3）設(shè)此直線與y軸相交于點(diǎn)B，直線BM與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

8

3

，0），試判斷△ACB與△ABD是否相似，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法能確定直線AB的解析式．
（2）首先根據(jù)直線AB的解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo)已知，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）△ACB和△ABD中，已知的條件是一個(gè)公共角，若兩者相似，那么夾公共角的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，即只需判斷是否滿足AB²=AC•AD的條件即可．

解答：解：（1）將點(diǎn)P（1，

5

2

）代入直線y=kx+2中，得：
k+2=

5

2

，k=

1

2

；
∴直線AB的解析式：y=

1

2

x+2．

（2）由直線AB的解析式知：A（-4，0）、B（0，2）．
將點(diǎn)A（-4，0）、P（1，

5

2

）代入y=ax²+bx（a＞0）中，得：

16a-4b=0 a+b= 5 2

，解得

a= 1 2 b=2

∴拋物線的解析式：y=

1

2

x²+2x．

（3）由（2）的拋物線知：點(diǎn)M（-2，-2）；
由于直線BM經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，2），設(shè)該直線的解析式：y=mx+2，有：
-2m+2=-2，m=2
即直線BM：y=2x+2，得點(diǎn)C（-1，0）．
由A（-4，0）、B（0，2）得：AB²=OA²+OB²=20；
由C（-1，0）、D（

8

3

，0），得：AC•AD=（4-1）×（4+

8

3

）=20；
∴AB²=AC•AD
又∠BAC=∠DAB，
∴△ACB∽△ABD．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查的是利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式以及相似三角形的判定．題目的難度不大，重點(diǎn)在于考查基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度．