(2009•上海模擬)如圖,已知直線y=kx+2經(jīng)過點P(1,
5
2
),與x軸相交于點A;拋物線y=ax2+bx(a>0)經(jīng)過點A和點P,頂點為M.
(1)求直線y=kx+2的表達式;
(2)求拋物線y=ax2+bx的表達式;
(3)設(shè)此直線與y軸相交于點B,直線BM與x軸相交于點C,點D的坐標(biāo)為(
8
3
,0),試判斷△ACB與△ABD是否相似,并說明理由.
分析:(1)已知點P的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法能確定直線AB的解析式.
(2)首先根據(jù)直線AB的解析式求出點A的坐標(biāo),點P的坐標(biāo)已知,利用待定系數(shù)法求解即可.
(3)△ACB和△ABD中,已知的條件是一個公共角,若兩者相似,那么夾公共角的兩組對應(yīng)邊成比例,即只需判斷是否滿足AB2=AC•AD的條件即可.
解答:解:(1)將點P(1,
5
2
)代入直線y=kx+2中,得:
k+2=
5
2
,k=
1
2
;
∴直線AB的解析式:y=
1
2
x+2.

(2)由直線AB的解析式知:A(-4,0)、B(0,2).
將點A(-4,0)、P(1,
5
2
)代入y=ax2+bx(a>0)中,得:
16a-4b=0
a+b=
5
2
,解得
a=
1
2
b=2

∴拋物線的解析式:y=
1
2
x2+2x.

(3)由(2)的拋物線知:點M(-2,-2);
由于直線BM經(jīng)過點B(0,2),設(shè)該直線的解析式:y=mx+2,有:
-2m+2=-2,m=2
即直線BM:y=2x+2,得點C(-1,0).
由A(-4,0)、B(0,2)得:AB2=OA2+OB2=20;
由C(-1,0)、D(
8
3
,0),得:AC•AD=(4-1)×(4+
8
3
)=20;
∴AB2=AC•AD
又∠BAC=∠DAB,
∴△ACB∽△ABD.
點評:該題主要考查的是利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式以及相似三角形的判定.題目的難度不大,重點在于考查基礎(chǔ)知識的掌握程度.
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