Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點(diǎn)G．
（1）求證：點(diǎn)E是

BD

的中點(diǎn)；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）若AD=6，⊙O的半徑為5，求弦DF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD．欲證明點(diǎn)E為

BD

的中點(diǎn)，只需證明∠DOC=∠BOC即可；
（2）若證明CD是⊙O的切線，需要證明∠ODC=90°，即OD⊥CD；
（3）利用垂徑定理推知△ADG和△ODG都是直角三角形，所以在這兩個(gè)直角三角形中利用勾股定理來求線段DG的長度．

解答：（1）連接OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD∥OD
∴∠OAD=∠BOC，∠DOC=∠ODA，
∴∠DOC=∠BOC，
∴

DE

=

BE

∴點(diǎn)E為

BD

的中點(diǎn)

（2）∵在△BOC與△DOC中，

OD=OB ∠DOC=∠BOC OC=OC

∴△BOC≌△DOC（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴CD為⊙O的切線；

（3）∵AB⊥DF
∴2DG=DF
設(shè)AG=x，則OG=5-x
在Rt△ADG和Rt△ODG中，由勾股定理得：6²-x²=5²-（5-x）²
解得：x=

18

5

∴DG=

62-( 18 5 )2

=4.8
∴DF=2DG=9.6

點(diǎn)評：本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．