Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C在⊙O上，并且OC⊥AB，P為⊙O上的一點(diǎn)，位于B、C之間，直線CP與AB相交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線與AB垂直，交直線AP于R．求證：BQ=QR．

Answer 1

證明：如圖，連接PB、BR，則∠APC=45°，∠APB=90°；
故∠BPQ=180°-∠APC-∠APB=45°；
又∵∠APB=90°=∠BQR，
∴B、Q、R、P四點(diǎn)共圓；
于是∠BRQ=∠BPQ=45°，
從而△BQR為等腰直角三角形；
∴BQ=QR．
分析：連接BR、BP，由圓周角定理知∠APB=∠AQR=90°，由此可得B、P、R、Q四點(diǎn)共圓，由圓周角定理知∠BPQ=∠BRQ；而∠BPQ是∠CPB的補(bǔ)角，由此可求得∠BPQ=45°，即∠BRQ=45°，可得△BQR是等腰Rt△，由此得證．
點(diǎn)評：主要考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；能夠發(fā)現(xiàn)B、P、R、Q四點(diǎn)共圓是解答此題的關(guān)鍵．