Question

（2011•南崗區(qū)一模）如圖1，直線y=-kx+6k（k＞0）與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，且△AOB的面積是24．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線OA-AB運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動，過點(diǎn)E作與x軸平行的直線l，與線段AB相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，點(diǎn)P、E均停止運(yùn)動．連接PE、PF，設(shè)△PEF的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過P作x軸的垂線，與直線l相交于點(diǎn)M，連接AM，當(dāng)tan∠MAB=

1

2

時(shí)，求t值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x=0時(shí)，y=6k，y=0時(shí)，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S_△AOB=24，求出即可；
（2）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動時(shí)，0＜t≤3，以及當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)求出即可；
（3）利用當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)F左側(cè)，以及當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，分別得出t的值即可．

解答：解：（1）令x=0時(shí)，y=6k（k＞0）；
令y=0時(shí)，x=6，
∴OB=6k，OA=6．S_△AOB=24，
∴

1

2

×6k×6=24，
 解得k=

4

3

，
∴AB的解析式為y=-

4

3

x+8；

（2）根據(jù)題意，OE=t，EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴

EF

OA

=

BE

OB

，即

EF

6

=

8-t

8

，
∴EF=

3

4

(8-t)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動時(shí)，0＜t≤3，過P作PH⊥EF，垂足是H，
則PH=OE=t，∴S=

1

2

EF•PH，∴S=-

3

8

t2+3t； 
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，過P作PG⊥OA，垂足是G，
直線PG與EF相交于點(diǎn)R，則GR=OE=t．
在△APG中，PG∥OB，
∴△APG∽△ABO，
∴

PG

OB

=

AP

AB

，AP=2t-6，
∴

PG

8

=

2t-6

10

，∴PG=

4

5

(2t-6)，
當(dāng)P與F重合時(shí)，有PG=OE，此時(shí) t=

4

5

(2t-6)，解得t=8．PR=GR-PG，
∴PR=t-

4

5

(2t-6)=

-3t+24

5

，
∴S=

1

2

EF•PR，
當(dāng)3＜t＜8時(shí)，S=

1

2

×

3

4

(8-t)×

-3t+24

5

=

9

40

t2-

18

5

t+

72

5

，
綜上所述，求得的解析式是

S=- 3 8 t2+3t(0＜t≤3) S= 9 40 t2- 18 5 t+ 72 5 (3＜t＜8)

；

（3）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)F左側(cè)．過點(diǎn)M作MD⊥AB，垂足是D，過點(diǎn)F作FS⊥OA，垂足是S，
∴FS=OE=t，EM=OP=2t．
在△MFD中，∠MDF=90°，tan∠MFD=tan∠BAO=

OB

OA

=

8

6

=

4

3

，
令MD=4k，則DF=3k，
∴MF=

(4k)2+(3k)2

=5k．
在△MAD中，tan∠MAD=tan∠MAB=

1

2

，
∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，
∴AF=5k=MF．在△AFS中，sin∠FAS=

FS

AF

=

t

AF

=sin∠BAO=

OB

AB

=

8

10

，
∴AF=

5

4

t，MF=EF-EM，
∴MF=

3

4

(8-t)-2t=

24-11t

4

=

5t

4

，
解得t=

3

2

，
當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)F右側(cè)．可計(jì)算得出t=

11

4

；
②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，過點(diǎn)M作MD'⊥AB，垂足是D'，
在△PMD′中，tan∠MPD′=tan∠ABO=

OA

OB

=

6

8

=

3

4

=

MD′

PD′

，
令MD′=3m，則PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′-PD′，
∴AP=2m，AP=2t-6=2m，MP=t-

4

5

(2t-6)=5m，
∴

1

5

[t-

4

5

(2t-6)]=

2t-6

2

，
解得t=

99

28

，
綜上所述，滿足要求的t值是

3

2

或

99

28

或

11

4

．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)已知得出M以及P點(diǎn)位置不同得出答案是解題關(guān)鍵．