Question

如圖，四邊形OABC是面積為4，且在第一象限內(nèi)的一個(gè)正方形，一反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）求此反比例函數(shù)的解析式．
（2）點(diǎn)P是反比例函數(shù)上異于B點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，得到長(zhǎng)方形OEPF．若設(shè)該長(zhǎng)方形與正方形OABC不重疊的部分的面積為s，當(dāng)s=2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，先利用正方形的性質(zhì)得出OA=AB=2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)（m，n）是反比例函數(shù)上異于B點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則mn=4．分兩種情況討論：①點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)即0＜m＜2；②點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)即m＞2．針對(duì)這兩種情況，都可知該長(zhǎng)方形與正方形OABC不重疊的部分為一個(gè)矩形，然后根據(jù)此矩形的面積為2列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

．
∵正方形OABC的面積為4，
∴OA=AB=2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
把B（2，2）代入y=

k

x

，得k=2×2=4，
∴此反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；

（2）如圖，設(shè)P點(diǎn)（m，n）是反比例函數(shù)上異于B點(diǎn)的任意一點(diǎn)．
∵P（m，n）在y=

4

x

的圖象上，
∴mn=4．
∵點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，異于B點(diǎn)，
∴m＞0且m≠2，
∴分兩種情況：
①點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)即0＜m＜2，
則S=PF•FC=m（n-2）=mn-2m=4-2m=2，
解得m=1，則n=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；
②點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)即m＞2，
S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=2，
解得n=1，則m=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（4，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題的解法：利用待定系數(shù)法確定反比例的解析式，那么圖象上所有點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積為定值．也考查了矩形的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．