Question

（2004•杭州）在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，由D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．設(shè)DE=a，DF=b，且實(shí)數(shù)a，b滿足9a²-24ab+16b²=0，并有2^a2b=256⁶，∠A使得方程x²-x•sinA+sinA-=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）試求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）試求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：2^a2b=256⁶，則2^a2b=2⁴⁸，則a²b=48．化簡(jiǎn)9a²-24ab+16b²=0得：（3a-4b）²=0，
則3a-4b=0，即3a=4b，則根據(jù)，可求得a與b的值；
（2）要求BC的長(zhǎng)需求出BD和CD的長(zhǎng)，知BD、CD分別是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜邊．
又知在△ABC中，AB=AC，則∠B=∠C，則根據(jù)三角函數(shù)只要知道∠B或∠C的讀數(shù)即可，要求∠B或∠C的讀數(shù)
需求的∠A的讀數(shù)，根據(jù)判別式可以求得∠A的讀數(shù)．
解答：解：（1）由條件有，解得；
（2）又由關(guān)于x的方程的判別式△=sin²A-sinA+=（sinA-）²=0，則sinA=，而∠A為三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以∠A₁=60°或∠A₂=120°    2分
當(dāng)∠A=60°時(shí)，△ABC為正三角形，∠B=∠C=60°
于是分別在Rt△BDE和Rt△CDF中
有BD=，CD=
所以BC=BD+DC=．

當(dāng)∠A=120°時(shí)，△ABC為等腰三角形，∠B=∠C=30°
同上方法可得BC=14．    3分

所以線段BC的長(zhǎng)應(yīng)為或14．
點(diǎn)評(píng)：考查了解直角三角形以及判別式的應(yīng)用．