Question

已知面積為4的△ABC的邊長(zhǎng)分別為BC=a，CA=b，AB=c，c＞b，AD是∠A的角平分線，點(diǎn)C′是點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，若△C′BD與△ABC相似，求△ABC的周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可利用a，b表示出△ABC的周長(zhǎng)，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)a+b≥2

ab

即可求得最小值．

解答：解：△BDC’相似于△BCA
情況（1）若DC’∕∕AC
令∠DAC=α，則∠BAC=∠BC’D=2α
易知AC’=C’D=CD=AC=b
顯然DC’=AC矛盾（DC’應(yīng)小于AC）
情況（2）∠BC’D=∠C
又∠DC’A=∠C
故∠BC’D=∠C=90°
在面積為4的直角三角形中，顯然，等腰直角三角形周長(zhǎng)最小
證法如下：a+b+c=a+b+

a2+b2

=a+b+

(a+b)2-16

又a+b≥2

ab

即a+b≥4

2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2

2

成立
所以a+b+c≥4

2

+4
則最小值是：4

2

+4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了的不等式的性質(zhì)，正確理解運(yùn)用a+b≥2

ab

是解題的關(guān)鍵．