Question

【題目】如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5），以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD、CQ．

⑴ 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，求t的值；

⑵ 若△ACQ是等腰三角形，求t的值；

⑶ 若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或者或者．；(3) 或者

【解析】

(1)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，先證明 ,得到 ,利用平行線分線段成比例，找出AD的長，利用OQ+DA=OA,求出t的值．

(2)分三種情況進(jìn)行討論，AQ=AC；QC=CA；QC=QA，利用等腰三角形性質(zhì)和三角形相似求出．

(3)一個(gè)交點(diǎn)，分情況討論，當(dāng)圓P與QC相切的時(shí)候，以及點(diǎn)Q與D重合的時(shí)候進(jìn)行討論，便可找出t的取值范圍．

解： CA是直徑，∠AOB＝90°．

．

在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8中．

．

即 ．

當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合．

（2）若△ACQ是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論．

①當(dāng)AQ=AC時(shí)，即AC=AQ=2t,OQ=t．

即：．

②當(dāng)QC=CA時(shí)，即QC=CA=2t，由（1）知．

即： ．

③當(dāng)QC=QA時(shí)，過點(diǎn)Q作,則AE=t,AQ=6-t

∽．

．

即： ．

綜上所述，當(dāng)△ACQ是等腰三角形時(shí)，或者或者．

（3）當(dāng)QC與圓P相切時(shí)， ．

．

．

∽

即： ．

解得：

當(dāng) 時(shí)，圓P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng) 時(shí)，由（1）知： ．

當(dāng) 時(shí)，圓P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)．

故：當(dāng)圓P與QC只有 一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，t的范圍：或者．