Question

15、設(shè)x₁、x₂、x₃、x₄、x₅均為正整數(shù)，且x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．試求x₅的最大值．

Answer 1

分析：設(shè)x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，利用“換元”思想，令S=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．則S≤5x₅，即t=x₁x₂x₃x₄≤5；那么t為1或2或3或4或5，而a，b，c，d則為t的約數(shù)．然后分類解答：①當(dāng)t=5時(shí)，求得x₅的值；②當(dāng)t=4或1時(shí)，求得x₅的值；③
當(dāng)t=2時(shí)，求得x₅的值．

解答：解：由于x₁、x₂、x₃、x₄、x₅在式中對(duì)稱，故不妨設(shè)x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，
并令S=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．則S≤5x₅，即t=x₁x₂x₃x₄≤5；
那么t為1或2或3或4或5，而a，b，c，d則為t的約數(shù)．
①當(dāng)t=5時(shí)，由于t=1×5，故令x₁=x₂=x₃=1，x₄=5，代入S可得x₅=2，與x₄≤x₅相矛盾，故x₅=2不合題意；
②同理，當(dāng)t=1或4時(shí)均不合題意．當(dāng)t=3時(shí)，x₅=3，符合題意；
③當(dāng)t=2時(shí)，由于t=1×2，令x₁=x₂=x₃=1，x₄=2，代入S可得x₅=5，符合題意；
綜上所述，故x₅的最大值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值問題．解答該題時(shí)，借助于“換元”法和“反證法”來求x₅的最大值．