解:(1)由題意得,MN平行x軸,MN=6,點N坐標為(2,-5),
故可得點M坐標為(-4,-5),
∵y=ax
2+bx+3過點M(-4,-5)、N(2,-5),
∴可得
,
解得:
,
故此拋物線的解析式為y=-x
2-2x+3.
(2)設拋物線的對稱軸x=-1交MN于點G,
若△DMN為直角三角形,則
,
可得D
1(-1,-2),D
2(-1,-8),
從而可求得直線MD
1解析式為;y=x-1,直線MD
2解析式為:y=-x-9,
將P(x,-x
2-2x+3)分別代入直線MD
1,MD
2的解析式,
得-x
2-2x+3=x-1①,-x
2-2x+3=-x-9②、
解①得 x
1=1,x
2=-4(舍),
即P
1(1,0);
解②得 x
3=3,x
4=-4(舍),
即P
2(3,-12);
故當△DMN為直角三角形時,點P的坐標為(1,0)或(3,-12).
(3)設存在點Q(x,-x
2-2x+3),使得∠QMN=∠CNM,
①若點Q在MN上方,過點Q作QH⊥MN,交MN于點H,
則QH=-x
2-2x+3+5,MH=(x+4)、
故
,即-x
2-2x+3+5=4(x+4)、
解得x
1=-2,x
2=-4(舍),
故可得點Q
1(-2,3);
②若點Q在MN下方,
同理可得Q
2(6,-45).
綜上可得存在點Q,使∠QMN=∠CNM,點Q的坐標為(-2,3)或(6,-45).
分析:(1)根據(jù)MN平行x軸,MN=6,點N坐標為(2,-5),可得出點M的坐標,然后利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可;
(2)設拋物線的對稱軸x=-1交MN于點G,此時拋物線的對稱軸是MN的中垂線,根據(jù)△DMN為直角三角形,可得出D
1及D
2的坐標,分別求出MD1及MD2的函數(shù)解析式,結合拋物線可得出點P的坐標;
(3)分兩種情況進行討論,①點Q在MN上方,②點Q在MN下方,然后根據(jù)兩角相等,利用三角函數(shù)建立方程,解出x的值后檢驗即可得出答案.
點評:此題屬于二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一元二次方程的求解及三角函數(shù)的知識,難點在第二問和第三問,注意要分類討論,不要漏解,要求我們能將所學的知識融會貫通.