Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于E，D是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BDC=120°．下列結(jié)論：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根據(jù)角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB,然后求出∠BEC=120°,判斷①正確;過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F,DG⊥AC的延長(zhǎng)線于G,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DF=DG,再求出∠BDF=∠CDG,然后利用“角邊角”證明△BDF和△CDG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CD,再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠DBC=30°,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義求出∠DBE=∠DEB,根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=DE,判斷②正確,再求出B,C,E三點(diǎn)在以D為圓心,以BD為半徑的圓上,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可得∠BDE=2∠BCE,判斷③正確.

∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正確；
如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長(zhǎng)線于G，

∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴AD為∠BAC的平分線，
∴DF=DG，
∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°，
又∵∠BDC=120°，

∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，
∴∠BDF=∠CDG，
∵在△BDF和△CDG中，

∴△BDF≌△CDG（ASA），

∴DB=CD，
∴∠DBC=（180°-120°）=30°，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE，故②正確；
∵DB=DE=DC，
∴B，C，E三點(diǎn)在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，∴∠BDE=2∠BCE，故③正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個(gè)．
故選D．