Question

如圖：B、C是x軸上兩點，以BC為直徑的圓交y軸的正半軸于點A，點B、C的坐標分別是（-12，0），（4，0）
（1）求點A的坐標．
（2）一動點P以每秒1個單位長度的速度從點C開始沿CB運動到B停止．過點P作PD⊥AC于D，設點P的運動時間為t．求t為何值時，△PAD與△ABC相似？
（3）在x軸上是否存在點M使△ABM是等腰三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）取線段BC的中點E，連接AE．在直角△AEO中，根據(jù)勾股定理即可求得線段OA的長度；
（2）需要分類討論：①△PAD∽△BCA；②△PAD∽△CBA；
（3）需要分類討論：①以AB為底的等腰三角形；②以AM為底的等腰三角形．

解答：解：（1）如圖1，取線段BC的中點E，連接AE．
∵點B、C的坐標分別是（-12，0），（4，0），
∴BC=16．
又∵BC是直徑，
∴點E是圓心，且BE=CE=AE=8，OE=4．
∴在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理知OA=

AE2-OE2

=

82-42

=4

3

，
∴點A的坐標是（0，4

3

）；

（2）易求AB=8

3

，AC=8．
∵BC是直徑，
∴BA⊥AC．
又∵PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴

PD

AB

=

CP

BC

，即

PD

8 3

=

t

16-t

，則PD=

8 3 t

16-t

．

CD

AC

=

CP

CB

，則

AD

AC

=

BP

BC

，即

AD

8

=

16-t

16

，則AD=8-

t

2

．
∵∠PDA=∠BAC=90°，
∴△PAD與△ABC相似分兩種情況：
①當①△PAD∽△BCA時，

PD

BA

=

AD

CA

，即

8 3 t 16-t

8 3

=

8- t 2

8

，
解得，t=24+8

5

（不合題意，舍去），或t=24-8

5

；
②當△PAD∽△CBA時，

PD

CA

=

AD

BA

，即

8 3 t 16-t

8

=

8- t 2

8 3

，
解得，t=40+8

21

（不合題意，舍去），或t=40-8

21

．
綜上所述，t=24-8

5

或t=40-8

21

．

（3）如圖3，當AB=BM時，點M的坐標是M₁（8

3

-12，0）、
M₃（-8

3

-12，0）；
當AB=BM時，點M的坐標是M₂（-4，0）；
綜上所述，符合條件的點M的坐標是M₁（8

3

-12，0）、M₃（-8

3

-12，0）、M₂（-4，0）．

點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識點有圓周角定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定以及平行線截線段成比例等知識點．解題時，注意分類討論，以防漏解．