Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：
①∠EAF=45°；②EF=ED；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²．
其中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得△ABF和△ACD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAF=∠CAD，然后求出∠EAF=45°；
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出△DAC≌△FAB，得出AD=AF，∠DAC=∠FAB，求出∠FAE=∠DAE，證出△FAE≌△DAE即可；
③④據(jù)勾股定理與等量代換可得④正確；由三角形的三邊關(guān)系可得③錯(cuò)誤．

解答：解：∵△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF=∠CAD，AF=AD，BF=CD，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠CAD+∠BAE=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°；①正確
∵△DAC≌△FAB，
∴AD=AF，∠DAC=∠FAB，
∴∠FAD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAC+∠BAE=∠FAB+∠BAE=∠FAE=45°，
在△FAE和△DAE中

DA=FA ∠DAE=FAE AE=AE

∴△FAE≌△DAE，
∴EF=ED．②正確．
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∵將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，
∴∠BAF=CAD，AF=AD，BF=CD，∠ABF=∠C=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠EAD，∠EBF=90°，
∴△AED≌△AEF，BE²+BF²=EF²，BE＞EF-BF，
∴BE²+DC²=DE²；④正確
∴BE＞EF-DC．③錯(cuò)誤．
∴正確的選項(xiàng)是：②②④3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理．