Question

已知二次函數(shù)y=x²-x+c．
（1）若點(diǎn)A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，求此二次函數(shù)的最小值；
（2）若點(diǎn)D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、P（m，m）（m＞0）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，且D、E兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，連接OP．當(dāng)2

2

≤OP≤2+

2

時(shí)，試判斷直線DE與拋物線y=x²-x+c+

3

8

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A，B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得出關(guān)于n、c兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組，可求出n、c的值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式．根據(jù)拋物線的解析式可用公式法或配方法求出函數(shù)的最小值．
（2）求直線DE與拋物線有幾個(gè)交點(diǎn)，可聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，得出一個(gè)二元一次方程，然后根據(jù)△的不同取值范圍，來判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．因此關(guān)鍵是求出DE所在直線的解析式．可設(shè)DE的解析式為y=kx，那么根據(jù)直線與二次函數(shù)y=x²-x+c交于D、E兩點(diǎn)，可聯(lián)立兩式得出一個(gè)關(guān)于x的二元一次方程，由于兩根互為相反數(shù)，因此-

b

2a

=0，可求出k的值，即可確定出直線DE的解析式．已知了OP的取值范圍，由于OP=

2

m（根據(jù)P的坐標(biāo)即可求出）．因此可得出m的取值范圍．然后將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=x²-x+c中即可得出c的取值范圍．
然后可聯(lián)立y=-x與y=x²-x+c+

3

8

，可得出一個(gè)二元一次方程，根據(jù)△的不同取值范圍以及求出的c的取值范圍即可判定出兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：
（1）由題意得

n=2+c 2n-1=2+c

解得

n=1 c=-1

∴二次函數(shù)y=x²-x-1的最小值是-

5

4

．

（2）解：∵點(diǎn)P（m，m）（m＞0），
∴PO=

2

m．
∴2

2

≤

2

m≤

2

+2．
∴2≤m≤1+

2

．
∵2≤m≤1+

2

，
∴1≤m-1≤

2

．
∴1≤（m-1）²≤2．
∵點(diǎn)P（m，m）（m＞0）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，
∴m=m²-m+c，即1-c=（m-1）²．
∴1≤1-c≤2．
∴-1≤c≤0．
∵點(diǎn)x₁，x₂關(guān)于原點(diǎn)對稱．
設(shè)直線DE：y=kx．
則根據(jù)題意有kx=x²-x+c，
即x²-（k+1）x+c=0．
∵-1≤c≤0，
∴（k+1）²-4c≥0．
∴方程x²-（k+1）x+c=0有實(shí)數(shù)根．
∵x₁+x₂=0，
∴k+1=0．
∴k=-1．
∴直線DE：y=-x．
若

y=-x y=x2-x+c+ 3 8

則有x²+c+

3

8

=0．即x²=-c-

3

8

．
當(dāng)-c-

3

8

=0時(shí)，
即c=-

3

8

時(shí)，方程x²=-c-

3

8

有相同的實(shí)數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有唯一交點(diǎn)．
②當(dāng)-c-

3

8

＞0時(shí)，
即c＜-

3

8

時(shí)，即-1≤c＜-

3

8

時(shí)，
方程x²=-c-

3

8

有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
③當(dāng)-c-

3

8

＜0時(shí)，即c＞-

3

8

時(shí)，即-

3

8

＜c≤0時(shí)，
方程x²=-c-

3

8

沒有實(shí)數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

沒有交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點(diǎn)的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，（2）中根據(jù)已知條件求出直線DE的解析式是解題的關(guān)鍵．