Question

對面積為1的△ABC進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至點A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁（如圖所示），記其面積為S₁．現(xiàn)再分別延長A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至點A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁₁A，順次連接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，記其面積為S₂，則S₂=________．

Answer 1

361
分析：根據(jù)等底的三角形高的比等于面積比推理出△A₁B₁C的面積是△A₁BC面積的2倍，則△A₁B₁B的面積是△A₁BC面積的3倍…，以此類推，得出△A₂B₂C₂的面積．
解答：解：連接A₁C，根據(jù)A₁B=2AB，得到：AB：A₁A=1：3，
因而若過點B，A₁作△ABC與△AA₁C的AC邊上的高，則高線的比是1：3，
因而面積的比是1：3，則△A₁BC的面積是△ABC的面積的2倍，
設△ABC的面積是a，則△A₁BC的面積是2a，
同理可以得到△A₁B₁C的面積是△A₁BC面積的2倍，是4a，
則△A₁B₁B的面積是6a，
同理△B₁C₁C和△A₁C₁A的面積都是6a，
△A₁B₁C₁的面積是19a，
即△A₁B₁C₁的面積是△ABC的面積的19倍，
同理△A₂B₂C₂的面積是△A₁B₁C₁的面積的19倍，
∴S₂=19×19×1=361．
故答案為：361．
點評：此題考查了三角形的面積，正確判斷相鄰的兩個三角形面積之間的關系是解決本題的關鍵，本題的難度較大．