Question

如圖所示的直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑的圓與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于D、E兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若⊙A的切線交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，且∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經(jīng)過所求拋物線的頂點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD，構(gòu)造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=

3

，AD=2

3

，根據(jù)勾股定理就可以求出AD的長，求出D的坐標(biāo)．
（2）求出B、C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出一般式解答；
（3）求出拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，連接AP，則△APM是直角三角形，且AP等于圓的半徑，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AM的長，已知OA，就可以得到OM，則M點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出；同理可以在直角△BNM中，根據(jù)三角函數(shù)求出BN的長，求出N的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線MN的解析式．將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）連接AD，得
OA=

3

，AD=2

3

，
∴OD=

AD2-OA2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
∴D（0，-3）．

（2）∵點(diǎn)A（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑的圓與x軸交于B、C兩點(diǎn)，
∴B（-

3

，0），C（3

3

，0），D（0，-3）
將AB，C，D三點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+c得，

0=3a- 3 b+c 0=27a+3 3 b+c -3=c

，
解得

a= 1 3 b=- 2 3 3 c=-3

∴拋物線為y=

1

3

x2-

2

3

3

x-3．

（3）連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2

3

∴AM=4

3

∴M（5

3

，0）
∵ON=MO•tan30°=5

3

•

3

3

=5
∴N（0，-5）
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，由于點(diǎn)M（5

3

，0）和N（0，-5）在直線MN上，
則

5 3 k+b=0 b=-5

，
解得

b=-5 k= 3 3

∴直線MN的解析式為y=

3

3

x-5
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，-4），
當(dāng)x=

3

時(shí)，y=

3

3

x-5=

3

3

×

3

-5=-4
∴點(diǎn)（

3

，-4）在直線y=

3

3

x-5上，
即直線MN經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓以及存在性問題相結(jié)合，考查了同學(xué)們的實(shí)際應(yīng)用能力，注意利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．