Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6）．
（1）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積等于16厘米²．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行可以得到相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比求得t值即可；
（2）分∠PQB=90°和∠QPB=90°兩種情況分類討論即可；
（3）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，利用相似三角形求得相應(yīng)的結(jié)論即可．

解答：解：（1）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，即 

10-t

10

=

2t

12

，
解得 t=

15

4

（秒）…（4分）

（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，如圖1．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=

1

2

BC=6．
∵∠B≠90°，
∴P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形情況有兩種：
①∠PQB=90°，即PQ∥AD．
∴

BP

BA

=

BQ

BD

，即 

10-t

10

=

2t

6

，解得 t=

30

13

（秒）…（8分）
②∠QPB=90°．而∠ADB=90°，∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BDA，
∴

BP

BD

=

BQ

BA

，即 

10-t

6

=

2t

10

，解得 t=

50

11

（秒）．
∴由①、②知，當(dāng)t為

30

13

秒或

50

11

秒時(shí)，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形…（12分）

（3）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，如圖2．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=

1

2

BC=6．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8．
∵PE∥AD．
∴△BPE∽△BAD，
∴

BP

BA

=

PE

AD

，即 

10-t

10

=

PE

8

，解得 PE=

4

5

（10-t）．
S_△PBQ=

1

2

BQ•PE=16．即 

1

2

•2t•

4

5

（10-t）=16．…（10分）
整理，得t²-10t+20=0．解這個(gè)方程，得t₁=5+

5

，t₂=5-

5

．
∵0≤t≤6，∴t₁=5+

5

不符合題意，舍去，只取t₂=5-

5

．
∴當(dāng)t為（5-

5

）秒時(shí)，△PBQ的面積等于16厘米；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形的綜合知識(shí)：
①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．