Question

【題目】已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，PD交⊙O于點(diǎn)C，D，PE是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)F.

（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長(zhǎng)；

（2）證明：PE＝PF；

（3）若PF＝13，sinA＝，求EF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）CD的長(zhǎng)為；

（2）證明見解析；

（3）EF的長(zhǎng)為10.

【解析】試題分析：（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分 O的半徑OA于點(diǎn)B， O的半徑為8，可求得OB的長(zhǎng)，又由勾股定理，可求得BD的長(zhǎng)，然后由垂徑定理，求得CD的長(zhǎng)；（2）由PE是 O的切線，易證得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，繼而可證得∠PEF=∠PFE，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，可得PE=PF；（3）首先過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PFsinA=13×=5，又由等腰三角形的性質(zhì)，求得答案．

試題解析：(1)連接OD，

∵直線PD垂直平分O的半徑OA于點(diǎn)B，O的半徑為8，

∴OB=OA=4,BC=BD=CD，

∴在Rt△OBD中,BD=，

∴CD=2BD=；

(2)∵PE是O的切線，

∴∠PEO=90°，

∴∠PEF=90°∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°∠A，

∵OE=OA，

∴∠A=∠AEO，

∴∠PEF=∠PFE，

∴PE=PF；

(3)過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，

∴∠PGF=∠ABF=90°，

∵∠PFG=∠AFB，

∴∠FPG=∠A，

∴FG=PFsinA=13×=5，

∵PE=PF，

∴EF=2FG=10.