Question

(1)(3分)如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點(diǎn)D．

    求證：AB²＝AD·AC；

(2)(4分)如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，延長BE交AC

于點(diǎn)F．，求的值；

(3)(5分) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)，直線BE⊥ＡD

于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F。若，請(qǐng)?zhí)骄坎⒅苯訉懗?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/2012082814203956482538/SYS201208281421193269465299_ST.files/image002.png">的所有可能的值(用含n的式子表

示)，不必證明．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析(2)2(3) ①當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，的值為n²＋n；②當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，的值為n²－n；③當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，的值為n－n²。

【解析】解：(1)證明：如圖①，∵　BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC，

                     又∵ ∠A＝∠A，∴ △ADB∽△ABC 。

                     ∴ ，∴ AB²＝AD·AC。

 (2)如圖②，過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G。

 

 

∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。

又∵，

∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC。

又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）。

∴ED＝GD＝。

由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，

∴�！� AE＝4DE�！�。

又∵CG∥BF，∴。

(3) ①當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，的值為n²＋n；

    ②當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，的值為n²－n；

    ③當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，的值為n－n²。

（1）由證△ADB∽△ABC即可得到結(jié)論。

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G，由已知用AAS證△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位線，應(yīng)用（1）的結(jié)論即可。

（3）分點(diǎn)D在BC邊上、點(diǎn)D在BC延長線上和點(diǎn)D在CB延長線上三種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G。

 

 

∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。

∴△BDE∽△CDG。∴。

又∵，∴

∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD。

∴BC=（n＋1）DC，EG=ED。

由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，

∴。∴ AE＝ DE。

∴。

又∵CG∥BF，∴。

②當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，如圖4，過點(diǎn)C作CH⊥AD交AD于點(diǎn)H。

 

 

∵ BE⊥AD，∴ ∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF。

∴△BDE∽△CDH。∴ 

又∵，∴

∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD。

∴BC=（n－1）DC，EH=ED。

由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，

∴�！� AE＝ DE。

∴。

又∵CH∥BF，∴。

③當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，如圖5，過點(diǎn)C作CI⊥AD交DA的延長線于點(diǎn)I。

 

 

∵ BE⊥AD，∴ ∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF。

∴△BDE∽△CDI�！� 

又∵，∴

∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nID。

∴BC=（1－n）DC，EI=ED。

由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，

∴。∴ AE＝ DE。

∴。

又∵CI∥BF，∴。