Question

如圖，E是BC上的一點，∠B=∠C=90°，且Rt△ABE≌Rt△ECD．
（1）求證：△AED是等腰直角三角形；
（2）若△AED的面積是

25

2

，△ABE的面積是6，求△ABE的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAE=∠DEC，然后求出∠AED=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的定義即可判斷；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出AE的長，設(shè)AB=x，利用勾股定理表示出BE，再根據(jù)△ABE的面積是6列出方程求解得到AB、BE，然后根據(jù)周長定義列式進(jìn)行計算即可得解．

解答：（1）證明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=DE，∠BAE=∠DEC，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠DEC=90°，
∠AED=180°-（∠ABE+∠DEC）=180°-90°=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；

（2）解：∵△AED是等腰直角三角形，△AED的面積是

25

2

，
∴

1

2

AE²=

25

2

，
解得AE=5，
設(shè)AB=x，根據(jù)勾股定理，BE=

25-x2

，
S_△ABE=

1

2

x

25-x2

=6，
整理得，x⁴-25x²+144=0，
解得x₁²=16，x₂²=9（根據(jù)圖形AB＞BE，舍去），
∴x=4，

25-x2

=

25-16

=3，
△ABE的周長=AB+BE+AE=4+3+5=12．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，以及三角形的面積，（2）用一條直角邊表示出另一直角邊，然后根據(jù)三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵，解方程有一定難度，要認(rèn)真運算．