Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx的頂點為A（1，1），與x軸的一個交點為B，雙曲線y=經(jīng)過平行四邊形ABCD的兩個頂點C、D，其中點D在該拋物線的對稱軸上
（1）求點B的坐標(biāo)和線段CD的長：
（2）求該反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx的頂點為A（1，1），
∴-=1，∴b=-2a，
∵=1，即=1，
∴==-a=1，
解得：a=-1，
故b=-2×（-1）=2，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-x²+2x；
當(dāng)y=0，則0=-x²+2x；
解得：x₁=0，x₂=2，
故圖象與x軸的一個交點B坐標(biāo)為（2，0），
延長DA到x軸一點E，∵點D在該拋物線的對稱軸上，
∴AE⊥OB，
∵頂點為A（1，1），
∴AE=EO=1，∵BO=2，
∴BE=1，
∴AB=，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=；

（2）過點C作CF⊥AD于點F，
由題意得出：BC∥AD，
∵AE⊥BO，AE=BE=1，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=∠CDF=45°，
∴DF=FC=1，
設(shè)C點坐標(biāo)為：（2，h），則D點坐標(biāo)為：（1，h+1），
將兩點分別代入y=得：
，
解得：，
故該反比例函數(shù)的解析式為：y=．
分析：（1）利用二次函數(shù)頂點坐標(biāo)分別將-=1，=1代入求出a，b即可，再利用圖象與x軸交點坐標(biāo)求法得出B點坐標(biāo)，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)求出AB=CD的長；
（2）首先利用平行四邊形的性質(zhì)表示出C，D兩點坐標(biāo)，再利用圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)求出反比例函數(shù)的解析式即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出C，D兩點坐標(biāo)特點是解題關(guān)鍵．