Question

如圖1，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=

5

，PB=

2

，PC=1，求∠BPC的度數(shù)．
【分析問(wèn)題】根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn)，我們可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△BP′A（如圖2），然后連結(jié)PP′．
【解決問(wèn)題】請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出圖2中∠BPC的度數(shù)；
【比類問(wèn)題】如圖3，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2

13

，PB=4，PC=2．
（1）∠BPC的度數(shù)為

120°

； 
（2）直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為

2

7

．

Answer 1

分析：【解決問(wèn)題】如圖4，將△PBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△P′BA，連接PP′，就可以求得∠P′BP=90°，P′B=PB，求出∠BP′P的度數(shù)，由勾股定理就可以求出PP′的值，在△P′AP中由勾股定理的逆定理可以得出△P′AP是直角三角形，求出∠PP′A的度數(shù)，從而可以求出結(jié)論；
（1）仿照【分析】中的思路，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，然后連結(jié)PP′．如圖所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△PBC≌△P′BA，從而得出△BPP′為等腰三角形，PB=P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，由∠ABC=120°，就有∠PBP′=120°，∠BP′P=30°，可以求得PP′=4

3

，由勾股定理的逆定理就可以求出∠AP′P=90°從而得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)A P′作BG⊥AP′于點(diǎn)G，在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，就可以得出P′G=2，BG=2

3

，則AG=P′G+P′A=2+2=4，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得AB=2

7

．

解答：解：【解決問(wèn)題】如圖4，將△PBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△P′BA，連接PP′，
∴△AP′B≌△CPB，
∴P′B=PB=

2

，P′A=PC=1，∠1=∠2．∠AP′B=∠BPC．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
即∠P′BP=90°．
∴∠BP′P=45°．
在Rt△P′BP中，由勾股定理，得
PP′²=4．
∵P′A=1，AP=

5

∴P′A²=1，AP²=5，
∴P′A²+PP′²=AP²，
∴△P′AP是直角三角形，
∴∠AP′P=90°．
∴∠AP′B=45°+90°=135°，
∴∠BPC=135°；

（1）仿照【分析】中的思路，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，連結(jié)PP′．如圖5，
∴△PBC≌△P′BA，
∴P′B=PB=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，
∴△BPP′為等腰三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠PBP′=120°，
∴∠BP′P=30°，
作BG⊥PP′于G，
∴∠P′GB=90°，PP′=2P′G．
∵P′B=PB=4，∠BP′P=30°，
∴BG=2，
∴P′G=2

3

∴PP′=4

3

，
在△APP′中，∵PA=2

13

，PP′=4

3

，P′A=2，
∴PA²=52，PP′²=48，P′A²=4，
∴P′A²+P′P²=PA²，
∴△PP′A是直角三角形，
∴∠AP′P=90°．
∴∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．

（2）延長(zhǎng)A P′作BG⊥AP′于點(diǎn)G，如圖6，
在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，
∴P′G=2，BG=2

3

，
∴AG=P′G+P′A=2+2=4，
在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得AB=2

7

．
故答案為：120°；2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了旋轉(zhuǎn)在正多邊形中的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，勾股定理的逆定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解答是關(guān)鍵