Question

如圖，把矩形紙片AOCD置于直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO=

3

，把矩形紙片沿直線AF折疊，使得點(diǎn)D與OC上的點(diǎn)E重合，這時(shí)AE平分∠OAF．
（1）填空：∠DAF

 

∠EAF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）求出直線AE的解析式及點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)M是直線AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作AD的平行線，交y軸于點(diǎn)N，是否存在點(diǎn)M，使得以M、N、D、A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)直接得到∴∠DAF=∠EAF；
（2）由AE平分∠OAF，得到∠OAE=∠EAF，而∠DAF=∠EAF，則∠DAF=∠EAF=∠OAE=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OE=1，即A（0，

3

）、E（1，0），再利用待定系數(shù)法即可求出直線AE的解析式；設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)（x，y），利用折疊的性質(zhì)和含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得到CF=

3

3

，EC=1，即可得到F點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）作DN∥AM交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥y軸交直線AE于點(diǎn)M，則四邊形MADN是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到MN=AD=2，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系
得AN=

3

AD=2

3

，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可得當(dāng)延長DC交直線AE于點(diǎn)M'，則DM'∥AO，作M'N'⊥y軸于點(diǎn)N'，則M'N'∥AD，求出點(diǎn)M′的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵矩形紙片沿直線AF折疊，使得點(diǎn)D與OC上的點(diǎn)E重合，
∴∠DAF=∠EAF．
故答案為=；

（2）∵AE平分∠OAF，
∴∠OAE=∠EAF，
而∠DAF=∠EAF，
∴∠DAF=∠EAF=∠OAE=30°，
在Rt△OAE中，OA=

3

，
∴OE=OA•tan30°=1，
∴A（0，

3

）、E（1，0），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

b= 3 k+b=0

，解得：

k=- 3 b= 3

∴直線AE的解析式為y=-

3

x+

3

；
∵∠AEO=60°，∠AEF=90°，
∴∠FEC=30°
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)（x，y），則CF=y，
∴EF=DF=2y
又DF=DC-DF，
∴DF=

3

-y，
∴2y=

3

-y，解得y=

3

3

，
又EC=

3

CF=1，
∴OC=2，
∴F（2，

3

3

）；

（3）存在．理由如下：
如圖，作DN∥AM交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥y軸交直線AE于點(diǎn)M，
則MN∥AD，
∴四邊形MADN是平行四邊形．
∴MN=AD=2，
又∠OAE=∠MAN=30°．
∴AN=

3

AD=2

3

，
∴點(diǎn)M(-2，3

3

)；
延長DC交直線AE于點(diǎn)M'，則DM'∥AO，
作M'N'⊥y軸于點(diǎn)N'，則M'N'∥AD，
∴四邊形AN'M'D是平行四邊形．
∴N'M'=OC=2
又點(diǎn)M'在直線y=-

3

x+

3

上，當(dāng)x=2時(shí)，y=-2

3

+

3

=-

3

，
∴點(diǎn)M′(2，-

3

)
綜上，存在2個(gè)符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo)，它們是(-2，3

3

)或(2，-

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用待定系數(shù)法求直線解析式的方法；也考查了折疊的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及平行四邊形的性質(zhì)．