Question

如圖，D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，E為△ABC外的一點(diǎn)，且∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求證：△ABD∽△CBE．
（2）求證：△ABC∽△DBE．

Answer 1

分析：（1）觀察圖形，由已知的∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△ABD∽△CBE；
（2）根據(jù)已知的∠1=∠2，利用等式的性質(zhì)，在∠1，∠2的兩側(cè)都加上∠DBC，即可得到∠ABC=∠DBE，同時(shí)再利用第一問(wèn)已證的△ABD∽△CBE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到：

AB

CB

=

BD

BE

，最后利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等兩三角形相似，即可證得△ABC∽△DBE．

解答：證明：（1）∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），
∴△ABD∽△CBE（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）；

（2）∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
由（1）△ABD∽△CBE可得：

AB

CB

=

BD

BE

（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），
∴△ABC∽△DBE（兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等兩三角形相似）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，其中判定三角形相似的方法有：①如果兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．相似三角形的性質(zhì)主要有：兩三角形相似，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．解決本題時(shí)，一定要善于利用第一問(wèn)已證的結(jié)論，運(yùn)用已證的結(jié)論得到有關(guān)的知識(shí)為第二問(wèn)的證明做準(zhǔn)備．