Question

梯形ABCD按如圖所示放置在直角坐標系中（如圖a），AB在x軸上，點D在y軸上，CD∥AB，A（-1，0），C（1，3），拋物線y=-

3

5

x2+bx+c經(jīng)過A、B、D三點，點G是拋物線的頂點，對稱軸GH交x軸為H，動點P從點O沿OB以每秒1個單位的速度向終點B運動，設運動時間為t秒．
（1）求拋物線的解析式與線段BC的長度
（2）當t為何值時，△PHG與△AOD相似（點P與點A對應）？
（3）如圖（b），連接AC交y軸于點E，動點Q從點B沿BC以每秒1個單位的速度向終點C運動，設點P、Q同時出發(fā)，若其中有一點到達終點，則另一點也立即停止運動．
①請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谀骋粫r刻t，使△OPQ是以OP為腰的等腰三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
②如圖（c），連接BD交PQ于F，當t=

19± 61

6

秒時，BF=

1

2

FD？（請直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）∵CD∥AB，C（1，3），就可以求出D點的坐標，然后把B、C的坐標代入解析式就可以求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）的解析式可以求出頂點G的坐標，從而求出GH，OH進而求出AH的值．利用三角形相似就可以求出PH的值，求出OP的值求出t的值．
（3）①利用等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)3中不同的位置情況，由相似三角形的性質(zhì)可以求出t的值．
②通過作輔助線證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)對應邊成比例可以求出t的值．

解答：
解：（1）∵C（1，3），CD∥AB，
∴D（0，3），
∵A（-1，0），
∴

0=- 3 5 -b+c 3=c

解得

b= 12 5 c=3

，
拋物線的解析式為：y=-

3

5

x2+

12

5

x+3．
當y=0時，-

3

5

x2+

12

5

x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=5．
過點C作CM⊥AB于M，則CM=DO=3，BM=4，在Rt△MCB中，由勾股定理，得
BC=

9+16

=5

（2）∵y=-

3

5

x2+

12

5

x+3．
∴y=-

3

5

(x-2)2+

27

5

∴G（2，

27

5

）
∴HG=

27

5

當△PHG∽△AOD時，

PH

OA

=

HG

OD

，
∴

PH

1

=

5.4

3

∴PH=1.8
∴OP=0.2或OP=3.8，
∴當t=0.2或3.8時，△PHG∽△AOD．

（3）①存在
過點Q作QN⊥AB于N，
∴△BQN∽△BCM
∴得，QN=

3

5

t，BN=

4

5

t
OQ=OP時，OQ=OP=BQ=t，
∴BN=ON=

4

5

t，
∴OB=

8t

5

=5，
∴t=

25

8

當OP=PQ時，OP=PQ=BQ=t，
∴MN=PN=

4

5

t，
∴t+

8

5

t=5，
∴t=

25

13

，
當t=5時，OP=PQ，成立
∴t=

25

8

、

25

13

或5時△OPQ是以OP為腰的等腰三角形．

②分別過點QN⊥AB、FR⊥AB，垂足為N、R．
∴FR∥QN∥OD
∴

BR

5

=

FR

3

=

BF

BD

=

1

3

，
∴FR=1，BR=

5

3

，PR=

10

3

-t，PN=5-

9

5

t
∵FR∥QN，
∴△PRF∽△PNQ
∴

FR

QN

=

PR

PN

，
∴

1

3 5 t

=

10 3 -t

5- 9 5 t

，
解得：t=

19± 61

6

，
∵t=

19- 61

6

故答案為：

19- 61

6

．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)．