Question

設(shè)a、b、c為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求a+b+c的值．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，得x₁=，同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=（c≠1），再根據(jù)韋達(dá)定理即可求解．
解答：解：設(shè)x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，兩式相減，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=（c≠1），
∵x₂=，
∴是第一個(gè)方程的根，
∵x₁與是方程x₁²+ax₁+1=0的兩根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此兩式相減有（a-1）（x₂-1）=0，
當(dāng)a=1時(shí)，這兩個(gè)方程無實(shí)根，
故x₂=1，從而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
所以a+b+c=-3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及二元一次方程的解，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)韋達(dá)定理解題．