Question

如圖，已知在四邊形ABFC中∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF=AE．
（1）試探究，四邊形BECF是什么特殊的四邊形并證明之；
（2）若四邊形BECF的面積是6cm²且BC+AC=cm時．求AB．

Answer 1

解：（1）四邊形BECF是菱形．
證明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形．

（2）由（1）可知四邊形AEFC為平行四邊形，
∴EF=AC，
根據(jù)菱形的面積公式可知：BC•AC=6×2=12（cm）²，
又BC+AC=cm，
∴（BC+AC）²-2BC•AC=BC²+AC²=105-2×12=81（cm）²，
∴AB=2BE=2×=9cm．
分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，又因為CF=BE，BE=EC=BF=FC，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，所以四邊形BECF是菱形；
（2）根據(jù)菱形的面積公式可知：BC•EF=6×2（cm）²，又BC+AC=cm，再根據(jù)勾股定理即可求出BE的長，繼而得出AB的長．
點評：本題考查菱形的判定和性質(zhì)，有一定難度，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法及性質(zhì)并靈活運用．