Question

已知二次方程x²+x-1=0的兩根為α、β，求2α⁵+β³的值．

Answer 1

解：∵二次方程x²+x-1=0的兩根為α、β，
∴α²+α-1=0，β²+β-1=0，
則α⁵=α•α²•α²=α•（1-α）（1-α）=（2α-1）（1-α）=5α-3
β³=β•β²=β（1-β）=β-β²=β-（1-β）=2β-1
∴2α⁵+β³=2（5α-3）+2β-1=10α+2β-7，
根據(jù)根與系數(shù)的關系有α+β=-1，
則β=-1-α，
所以原式=10α+2（-1-α）-7=8α-9
解方程可知：α=，
所以原式=-13±4．
即2α⁵+β³的值為-13±4．
分析：首先利用二次方程x²+x-1=0的兩根為α、β對代數(shù)式進行化簡，然后再根據(jù)根與系數(shù)的關系進行求解得到結果．
點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．