(1)如圖所示,矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=6cm,求AC的長(zhǎng).

(2)如圖所示,在四邊形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,O、M分別是AC、BD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CN∥AM交MO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

求證:四邊形AMCN是菱形

答案:
解析:

(1)解:因?yàn)樗倪呅?/FONT>ABCD為矩形.

所以AC=BD,AO=BO=CO=DO

因?yàn)椤?/FONT>A0D=120°,所以∠AOB=60°,

所以△AOB為等邊三角形.

所以AO=AB=6cm,所以AC=2AO=12cm

(2)證明:由AMCN,OA=OC,∠AOM=COM,得△AOM和△CON關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),所以AM=CN.又因AMCN,所以四邊形AMCN是平行四邊形,又在RtABD中,AM是斜邊BD上的中線,即得.同理可得,故AM=CM,所以平行四邊形AMCN是菱形.


提示:

(1)矩形的兩條對(duì)角線的夾角為60°,則矩形被對(duì)角線分成的四個(gè)三角形中有兩個(gè)是等邊三角形.

矩形的對(duì)角線把矩形分成了四個(gè)等腰三角形.

(2)要證AMCN是菱形,首先看適合哪一種判定方法,題中已給出CNAM,而O又是AC的中點(diǎn),得△AOM和△CON關(guān)于O點(diǎn)中少對(duì)稱(chēng),得M=CN,即四邊形AMCN是平行四邊形.再證一組鄰邊相等是問(wèn)題的關(guān)鍵,而AMCM分別是RtABCRtBCD斜邊BD上的中線,所以,問(wèn)題即可證明.

應(yīng)注意到四邊形ABCD是由兩個(gè)有公共斜邊BD的直角三角形組成的.且AM、CM是它們公共斜邊BD上的中線,因此AM=CM


練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(12,0),動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒
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個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.以點(diǎn)P為頂點(diǎn),作等邊△PMN,點(diǎn)M,N在x軸上.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)O重合;
(2)求點(diǎn)P坐標(biāo)和等邊△PMN的邊長(zhǎng)(用t的代數(shù)式表示);
(3)如果取OB的中點(diǎn)D,以O(shè)D為邊在△AOB內(nèi)部作如圖②所示的矩形ODEF,點(diǎn)E在線段AB上.設(shè)等邊△PMN和矩形ODEF重疊部分的面積為S,請(qǐng)求出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
精英家教網(wǎng)

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A、2B、4C、6D、8

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xy
=
 

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