Question

(1)如圖所示，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AB=6cm，求AC的長(zhǎng)．

(2)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，O、M分別是AC、BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CN∥AM交MO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．

求證：四邊形AMCN是菱形

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：因?yàn)樗倪呅?/FONT>ABCD為矩形． 所以AC=BD，AO=BO=CO=DO． 因?yàn)椤?/FONT>A0D=120°，所以∠AOB=60°， 所以△AOB為等邊三角形． 所以AO=AB=6cm，所以AC=2AO=12cm． (2)證明：由AM∥CN，OA=OC，∠AOM=∠COM，得△AOM和△CON關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以AM=CN．又因AM∥CN，所以四邊形AMCN是平行四邊形，又在Rt△ABD中，AM是斜邊BD上的中線，即得．同理可得，故AM=CM，所以平行四邊形AMCN是菱形．

提示：

(1)矩形的兩條對(duì)角線的夾角為60°，則矩形被對(duì)角線分成的四個(gè)三角形中有兩個(gè)是等邊三角形． 矩形的對(duì)角線把矩形分成了四個(gè)等腰三角形． (2)要證AMCN是菱形，首先看適合哪一種判定方法，題中已給出CN∥AM，而O又是AC的中點(diǎn)，得△AOM和△CON關(guān)于O點(diǎn)中少對(duì)稱(chēng)，得M=CN，即四邊形AMCN是平行四邊形．再證一組鄰邊相等是問(wèn)題的關(guān)鍵，而AM、CM分別是Rt△ABC和Rt△BCD斜邊BD上的中線，所以，問(wèn)題即可證明． 應(yīng)注意到四邊形ABCD是由兩個(gè)有公共斜邊BD的直角三角形組成的．且AM、CM是它們公共斜邊BD上的中線，因此AM=CM．