Question

（2013•寧波模擬）如圖，AB為量角器（半圓O）的直徑，等腰直角△BCD的斜邊BD交量角器邊緣于點(diǎn)G，直角邊CD切量角器于讀數(shù)為60°的點(diǎn)E處（即弧AE的度數(shù)為60°），第三邊交量角器邊緣于點(diǎn)F處．
（1）求量角器在點(diǎn)G處的讀數(shù)α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB=10cm，求陰影部分面積．

Answer 1

分析：如圖，連接OE，OF．
（1）利用切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的判定證得OE∥BC，則同位角∠ABC=∠AOE=60°，所以由圖形中相關(guān)角與角間的和差關(guān)系即可得到∠ABG=15°；然后由圓周角定理可以求得量角器在點(diǎn)G處的讀數(shù)α（0°＜α＜90°）；
（2）S_陰影=S_扇形-S_△OBF=

25π

6

-

25 3

4

．

解答：解：如圖，連接OE，OF．
（1）∵CD切半圓O于點(diǎn)E，
∴OE⊥CD，
∵BD為等腰直角△BCD的斜邊，
∴BC⊥CD，∠D=∠CBD=45°，
∴OE∥BC，
∴∠ABC=∠AOE=60°，
∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15°
∴弧AG的度數(shù)=2∠ABG=30°，
∴量角器在點(diǎn)G處的讀數(shù)α=弧AG的度數(shù)=30°；   

（2）∵AB=10cm，
∴OF=OB=5cm，∠ABC=60°，
∴△OBF為正三角形，∠BOF=60°，
∴S_扇形=

25π

6

（cm²），S_△OBF=

25 3

4

∴S_陰影=S_扇形-S_△OBF=

25π

6

-

25 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形面積的計(jì)算，圓周角定理．求（2）題時(shí)，利用了“分割法”求得圖中陰影部分的面積．