Question

已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)如圖1，頂點(diǎn)為M．
（1）求a、b的值；
（2）設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為Q，且直線y=-2x+9與直線OM交于點(diǎn)D（如圖1）．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到D點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)移至N點(diǎn)，求拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線掃過的區(qū)域的面積；
（3）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)M移至原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（如圖2）．試探究：在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使得∠EPQ=∠QPF？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知的兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法求得a、b的值即可；
（2）首先將求得的拋物線的解析式利用配方法求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，3然后利用平移的性質(zhì)即可求得平行四邊形MDNQ的面積；
（3）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x²，設(shè)EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t）過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線通過證明△GEP∽△HFP得到比例式求得t值即可存在，否則就不存在．
解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)：
∴，
解得：；

（2）由 （1）求得拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點(diǎn)M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=x，
由方程組 ，
解得：，
∴D（，）
如圖1，由平移的性質(zhì)知，拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線掃過的區(qū)域的面積即為平行四邊形MDNQ的面積，連接QD，
∴S_{平行四邊形MDNQ}=2S_△MDQ=2（S_△OQM+S_△OQD）=2×（×3×2+×3×）=；

（3）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x²，
設(shè)EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t）過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，
垂足為G，H（如圖2）．
∵∠EPQ=∠QPF，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，
∴△GEP∽△HFP，
∴=，
∴==
∴2k x _E•x _F=（t-3）（x _E+x _F）
由．
得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0，-3），使∠EPQ=∠QPF．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想得出是解題關(guān)鍵．