Question

根據題意，解答下列問題：
（1）如圖1，已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求線段AB的長；
（2）公式推導：類比（1）的求解過程，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是平面直角坐標系內的兩點，如圖2，請你通過構造直角三角形的方法推導公式P₁P₂=；
（3）公式應用：已知：如圖3，A（6，1），B（2，4），問：是否在x軸、y軸上分別存在P、Q兩點，使得四邊形ABQP的周長最短？若存在，求出四邊形ABQP的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點
∴A點坐標為（-2，0）B點坐標為（0，4）
∴AB的長為；

（2）如圖過P₁、P₂分別作兩軸的平行線，交于點A，
則P₁A=x₂-x₁，P₂A=y₂-y₁
∴P₁P₂=；

（3）由（2）中得AB==5
設P、Q兩點的坐標為（x，0），（0，y）
則AP=PQ=BQ=
周長為AP+PQ+BQ+AB
要使周長最小，則AP+PQ+BQ應該最小
由公式x²+y²≥2xy，當且僅當x=y時滿足
類推得x²+y²+z²≥xy+xz+yz當且僅當x=y=z時取等號
∴當AP=PQ=BQ時取得最小值
計算得最小值為．
分析：根據勾股定理，知道兩邊的坐標求出兩邊的長，繼而可以輕松求出第三邊的長度．利用x+y≥得當兩項相等時相加最小，類推出當AP=PQ=BQ時取得最小值，利用（2）中所得的公式可以求出．
點評：①求邊長可以有很多種求法，其中利用直角三角形是常用的一種，勾股定理或三角函數等．
②合理利用不等式的關系求解．