Question

已知拋物線y=ax²經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）
（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）寫出拋物線上點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）求△OAB的面積；
（4）拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可得到a的值，從而得解；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同解答；
（3）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AB的長度，以及點(diǎn)O到AB的距離，然后利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（4）根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到AB的距離，再分①點(diǎn)C在AB下面，②點(diǎn)C在AB的上面兩種情況求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），
∴4a=1，
解得a=

1

4

，
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為y=

1

4

x²；

（2）∵點(diǎn)A（2，1），
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，1）；

（3）∵點(diǎn)A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
S_△OAB=

1

2

×4×1=2；

（4）假設(shè)存在點(diǎn)C，且點(diǎn)C到AB的距離為h，
則S_△ABC=

1

2

•AB•h=

1

2

×4h，
∵△ABC的面積等于△OAB面積的一半，
∴

1

2

×4h=

1

2

×2，
解得h=

1

2

，
①當(dāng)點(diǎn)C在AB下面時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1-

1

2

=

1

2

，
此時(shí)，

1

4

x²=

1

2

，
解得x₁=

2

，x₂=-

2

，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

2

，

1

2

）或（-

2

，

1

2

），
②點(diǎn)C在AB的上面時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1+

1

2

=

3

2

，
此時(shí)

1

4

x²=

3

2

，
解得x₁=

6

，x₂=-

6

，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

6

，

3

2

）或（-

6

，

3

2

），
綜上所述，存在點(diǎn)C（

2

，

1

2

）或（-

2

，

1

2

）或（

6

，

3

2

）或（-

6

，

3

2

），使△ABC的面積等于△OAB面積的一半．

點(diǎn)評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，三角形的面積，以及二次函數(shù)的對稱性，（4）要注意分點(diǎn)C在AB的上面與下面兩種情況討論求解．