Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E、F分別是BC、CD邊上的動點(diǎn)，（E、F不與C重合）
①當(dāng)EC=CF，且△AEF面積為2.5時(shí)，求EF的長和tan∠BAE．
②當(dāng)EC=1時(shí)，設(shè)CF的長為x，y=S_△AEF，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．（要求寫出x的取值范圍）

Answer 1

分析：（1）設(shè)EC=CF=x，根據(jù)三角形的面積公式求出x的值，就可以求出BE的值，再由勾股定理就可以求出EF的值，根據(jù)三角函數(shù)值就可以求出tan∠BAE；
（2）當(dāng)CE=1時(shí)，就可以求出BE的值，由CF=x就可以求出DF=3-x，分別表示出△ABE、△CEF、△ADF的面積就可以表示出△AEF的值．

解答：解：①設(shè)EC=CF=x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=3，∠B=∠C=∠D=90°，
∴

1

2

x²=2.5，
∴x=

5

，
∴BE=3-

5

，
∴tan∠BAE=

3- 5

3

，
在Rt△CEF中，由勾股定理得
EF=

10

，
∴EF=

10

，tan∠BAE=

3- 5

3

；

②∵EC=1，
∴BE=2，
∴S_△ABE=

2×3

2

=3．
∵CF=x，
∴DF=3-x，
∴S_△CEF=

x

2

，S_△ADF=

3(3-x)

2

．
∵S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ABE-S_△CEF=
∴y=9-3-

x

2

-

3(3-x)

2

，
∴y=x+

3

2

（0＜x≤3）．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用三角形的面積公式求解是關(guān)鍵．