Question

已知，如圖：在△ABC中，∠ABC = 70°，∠ACB = 50°，E分別為AC、AB上的點，且BE = CD，G、M、N分別為BC、BD、CE的中點。

(1) 求∠MGN與∠A的度數(shù)相等嗎？說明理由。

(2) 判斷△GMN的形狀，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）相等；

∵G、M、N分別為BC、BD、CE的中點，

∴GM∥CD，GN∥BE，

∴∠BGM=∠ACB=50°，∠CGN=∠ABC=70°，

∴∠MGN=180°-∠BGM-∠CGN=60°，

已知∠ABC=70°，∠ACB=50°，

∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，

∴∠MGN=∠A；

（2）等邊三角形；

∵G、M、N分別為BC、BD、CE的中點，

∴GM=CD，GN=BE，

又已知BE=CD，

∴GM=GN，

∴∠GMN=∠CNM，

又∵∠MGN=60°，

∴∠GMN=∠CNM=（180°-60°）=60°，

∴∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°，

∴△GMN為等邊三角形．

【解析】（1）由G、M、N分別為BC、BD、CE的中點根據(jù)三角形中位線定理可得GM∥CD，GN∥BE，繼而得∠BGM=∠ACB=50°，∠CGN=∠ABC=70°，所以得∠MGN=60°，再由三角形內(nèi)角和定理得∠A=60°，所以∠MGN與∠A的度數(shù)相等；

（2）由已知BE=CD，G、M、N分別為BC、BD、CE的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得GM=GN，則得∠GMN=∠CNM，由（1）得出∠MGN=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°，所以得△GMN的形狀為等邊三角形．