Question

（2002•武漢）已知：如圖，⊙O和⊙O₁內(nèi)切于A，直線OO₁交⊙O于另一點(diǎn)B、交⊙O₁于另一點(diǎn)F，過(guò)B點(diǎn)作⊙O₁的切線，切點(diǎn)為D，交⊙O于C點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．
（1）求證：CD=DE；
（2）若將兩圓內(nèi)切改為外切，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：要證明CD=DE，可以把它們構(gòu)造到兩個(gè)全等三角形中三角形ADE和三角形ACD中，根據(jù)圓周角定理的推論和弦切角定理以及等角的余角相等證明∠ADE=∠ADC．再結(jié)合直角和公共邊證明兩個(gè)三角形全等．
解答：（1）證明：連接DF、AD；
∵AF為⊙O₁的直徑，
∴FD⊥AD，又DE⊥AB，
∴∠DFE=∠EDA，
∵BC為⊙O₁的切線，
∴∠CDA=∠DFE，
∴∠CDA=∠EDA；
連接AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，又AD公共，
∴Rt△EDA≌Rt△CDA，
∴CD=DE．

（2）解：當(dāng)兩圓外切時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論仍成立，證法同（1）．
點(diǎn)評(píng)：能夠綜合運(yùn)用圓周角定理的推論、弦切角定理、等角的余角相等，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．在解決一題多變的時(shí)候，思路基本相似．