Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的一個交點為A（﹣2，0），與y軸的交點為C，對稱軸是x=3，對稱軸與x軸交于點B．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）經(jīng)過B，C的直線l平移后與拋物線交于點M，與x軸交于點N，當以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出點M的坐標；

（3）若點D在x軸上，在拋物線上是否存在點P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4交x軸于A（﹣2，0），

∴0=4a﹣2b+4，

∵對稱軸是x=3，

∴﹣=3，即6a+b=0，

兩關(guān)于a、b的方程聯(lián)立解得 a=﹣，b=，

∴拋物線為y=﹣x²+x+4．

（2）∵四邊形為平行四邊形，且BC∥MN，

∴BC=MN．

①N點在M點右下方，即M向下平移4個單位，向右平移2個單位與N重合．

設(shè)M（x，﹣x²+x+4），則N（x+2，﹣x²+x），

∵N在x軸上，

∴﹣x²+x=0，

解得 x=0（M與C重合，舍去），或x=6，

∴x_M=6，

∴M（6，4）．

②M點在N右下方，即N向下平行4個單位，向右2個單位與M重合．

設(shè)M（x，﹣x²+x+4），則N（x﹣2，﹣x²+x+8），

∵N在x軸上，

∴﹣x²+x+8=0，

解得 x=3﹣，或x=3+，

∴x_M=3﹣，或3+．

∴M（3﹣，﹣4）或（3+，﹣4）

綜上所述，M的坐標為（6，4）或（3﹣，﹣4）或（3+，﹣4）．

（3）∵OC=4，OB=3，

∴BC=5．

如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，

∵D在x軸上，

∴D為（﹣2，0）或（8，0）．

①當D為（﹣2，0）時，連接CD，過B作直線BE平分∠DBC交CD于E，交拋物線于P₁，P₂，

此時△P₁BC≌△P₁BD，△P₂BC≌△P₂BD，

∵BC=BD，

∴E為CD的中點，即E（﹣1，2），

設(shè)過E（﹣1，2），B（3，0）的直線為y=kx+b，則 ，

解得 ，

∴BE：y=﹣x+．

設(shè)P（x，y），則有，

解得 ，或，

則P₁（4+，），P₂（4﹣，）．

②當D為（8，0）時，連接CD，過B作直線BF平分∠DBC交CD于F，交拋物線于P₃，P₄，

此時△P₃BC≌△P₃BD，△P₄BC≌△P₄BD，

∵BC=BD，

∴F為CD的中點，即E（4，2），

設(shè)過E（4，2），B（3，0）的直線為y=kx+b，則，

解得 ，

∴BF：y=2x﹣6．

設(shè)P（x，y），則有，

解得 或 ，

則P₃（﹣1+，﹣8+2），P₄（﹣1﹣，﹣8﹣2）．

綜上所述，點P的坐標為（4+，）或（4﹣，）或（﹣1+，﹣8+2）或（﹣1﹣，﹣8﹣2）．