Question

已知兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC、DEF，如圖1放置，點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在BC上，AB與EF交于點(diǎn)G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=m°，AC=DF=4，BC=EF=7．若紙片DEF不動(dòng)．

（1）在圖1中，連接AE，則直角梯形ACFE的腰長(zhǎng)CF=

 

、AE=

 

；
（2）將△ABC作平移或旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱變換后，使得△ABC與△DEF組合成矩形．在備用圖1中畫出△ABC每一次變換后的圖形，若是平移，請(qǐng)寫出平移的方向與距離；若是旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度；若是軸對(duì)稱，要指明它的對(duì)稱軸；
（3）在圖1中，將△ABC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠BFD（0°＜∠BFD＜180°）為多少度時(shí)，直角三角形ABC的直角邊與DE平行，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AE，作AH⊥FE于H，構(gòu)造直角三角形EAH，利用勾股定理解答；
（2）將△ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°-m°，再以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，使點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及平行線的判定解答．

解答：解：（1）根據(jù)題意，梯形ACFE中，CF=BC-FB=7-4=3；
作AH⊥FB與H，
則AH=CF=3，HE=FE-AC=7-4=3，
在Rt△AHE中，AE=

AH2+HE2

=

32+32

=3

2

．
故答案為：3，3

2

；

（2）將△ABC以BC為對(duì)稱軸，作軸對(duì)稱變換，然后以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合即可；

（3）由圖可知，旋轉(zhuǎn)角∠BFD與∠B′是同位角，當(dāng)∠BFD=∠B′=（90-m）度時(shí)，兩直線平行．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時(shí)涉及勾股定理、平行線的判定、旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)．