Question

【題目】（1）如圖1，為上一點(diǎn)，若，，求證：．

（2）如圖2，中，，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，，，求．

（3）如圖，在四邊形中，，，，，直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定，可證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等這個(gè)判定就可證得；

（2）根據(jù)可以設(shè)，由，可得，根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)而表示出BP的長(zhǎng)，由（1）中的結(jié)論，和CB=CD可證得，進(jìn)而可得，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出答案；

（3）過點(diǎn)A作AD⊥AE，與DC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等可證得，根據(jù)相似的性質(zhì)可得BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出，由勾股定理可求出DE的長(zhǎng)，再由30°直角三角形的性質(zhì)即可求出AD的長(zhǎng)．

（1）證明：∵，，

∴，

∴，即，

又∵，

∴

∴．

（2）作于，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，

∵，

∴設(shè)，，，

∵，

∴∠BPC=∠ACB=90°，

∴∠B+∠BCP=90°，∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠ACP=∠B，

∴，

∴，

∴，

∵

∴，，

由（1）得，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

（3）過點(diǎn)A作AD⊥AE，與DC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，如圖，

∵AD⊥AE，∠BAC=90°，

∴∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAE=∠CAD，

∵，

∴∠ABC=∠AED=30°，

∴，，

∴,

∴，

∴，∠AEB=60°，

∴，

在△BED中，由勾股定理得，

，

∴．