Question

如圖，在△ABD中，C為AD上一點(diǎn)，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，則AC=

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：①首先利用有30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，設(shè)BE為x，求得DE用x表示；②作DE垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，設(shè)AC為y，利用平行線分線段成比例，用x表示y；③再利用△ABC∽△AED，求得BC（用含x的式子表示），最后在Rt△ABC中再利用勾股定理建立方程，求出x，從而解決問(wèn)題．
解答：解：如圖，作DE垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
在Rt△BED中，∠EBD=180°-∠ABC-∠CBD=180°-90°-30°=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE，設(shè)BE為x，則DE==x；
∵∠ABC=90°，∠AED=90°，
∴BC∥ED，
∴=，設(shè)AC為y，則y=；
又△ABC∽△AED，
∴=，
即=，則BC=；
在Rt△ABC中，
AB²+BC²=AC²，
即1²+=，
整理得4x⁴+2x³-2^x-1=0，
（2x+1）（2x³-1）=0，
∴2x³-1=0，
x=，
∴AC==；
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例等知識(shí)，屬于綜合題目．