Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，C，B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點(diǎn)A，D，B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0， ），點(diǎn)M是拋物線C2：y=mx2-2mx-3m（m＜0）的頂點(diǎn)：

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)A，C，B的拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式．

（3）探究“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）；（3）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）時(shí)， 有最大值， .

【解析】試題分析：（1）把拋物線解析整理，令y=0可求得x的值，則可求得A、B的坐標(biāo)；

（2）由A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線解析式；

（3）連接BC、過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于點(diǎn)Q，由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，則可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得PQ的長，從而用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC面積的最大值．

試題解析：解：（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），且m≠0，

∴當(dāng)y=0時(shí)，可得m（x-3）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

則有，解得，

∴拋物線C1解析式為；

（3）如圖，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，

設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，則有，解得，

∴ 直線BC的解析式為，

設(shè)P（x， ），則Q（x， ），

∴ PQ= ，

∴ S△PBC=PQOB=×（x2+x）×3=（x）2+，

∵＜0，

∴ 當(dāng)x=時(shí)，S△PBC有最大值，S最大=，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴ 此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）．