Question

已知，在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B₁在y軸上，點C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃均在x軸正半軸上．若已知正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為1，∠B₁C₁O=60°，且B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，則點A₃的坐標是（　�。�

• A．（3+

  3

  2

  ，

  3 +1

  6

  ）
• B．（

  3

  +

  3

  2

  ，

  3 +3

  18

  ）
• C．（

  3

  +

  3

  2

  ，

  3 +1

  6

  ）
• D．（3+

  3

  2

  ，

  3 +3

  18

  ）

Answer 1

分析：根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠B₃C₃O=∠B₂C₂O=∠B₁C₁O=60°，然后解直角三角形求出OC₁、C₁E、E₁E₂、E₂C₂、C₂E₃、E₃E₄、E₄C₃，再求出B₃C₃，過點A₃延長正方形的邊交x軸于M，過點A₃作A₃N⊥x軸于N，先求出A₃M，再解直角三角形求出A₃N、C₃N，然后求出ON，再根據(jù)點A₃在第一象限寫出坐標即可．

解答：解：如圖，∵B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴∠B₃C₃O=∠B₂C₂O=∠B₁C₁O=60°，
∵正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為1，
∴OC₁=

1

2

×1=

1

2

，
C₁E=

3

2

×1=

3

2

，
E₁E₂=

1

2

×1=

1

2

，
E₂C₂=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
C₂E₃=E₂B₂=

1

2

，
E₃E₄=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
E₄C₃=

3

6

×

3

3

=

1

6

，
∴B₃C₃=2E₄C₃=2×

1

6

=

1

3

，
過點A₃延長正方形的邊交x軸于M，過點A₃作A₃N⊥x軸于N，
則A₃M=

1

3

+

1

3

×

3

3

=

3+ 3

9

，
A₃N=

3+ 3

9

×

3

2

=

3 +1

6

，
C₃M=

3+ 3

9

×

1

2

=

3+ 3

18

，
∴C₃N=（

1

3

×

3

3

×2）-

3+ 3

18

=

3 -1

6

，
ON=

1

2

+

3

2

+

1

2

+

3

6

+

1

2

+

3

6

+

1

6

+

3 -1

6

，
=

3

+

3

2

，
∵點A₃在第一象限，
∴點A₃的坐標是（

3

+

3

2

，

3 +1

6

）．
故選C．

點評：本題考查了正方形的四條邊都相等性質(zhì)，解含30°角的直角三角形，依次求出x軸上各線段的長度是解題的關鍵，難點在于過點A₃作輔助線構(gòu)造出含60°角的直角三角形．